Question

设函数f（x）=（x ^_ 1）e^{x _} kx²（k∈R）.
(Ⅰ)当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
(Ⅱ)当k∈（1/2,1]时，求函数f（x）在[0,k]上的最大值M.

Answer 1

(Ⅰ)函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ)函数在上的最大值.

试题分析：(Ⅰ) 当时,
,
令,得,
当变化时, 的变化如下表:

		极大值		极小值

 由表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.     6分
(Ⅱ) ,
令,得,,
令,则,所以在上递增,
所以,从而,所以
所以当时, ；当时, ；
所以
令,则,
令,则
所以在上递减,而
所以存在使得,且当时, ,
当时, ,
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,
所以在上恒成立,当且仅当时取得“=”.
综上,函数在上的最大值.     14分
点评：难题，本题较为典型，是导数应用的基本问题。曲线切线的斜率等于在切点处的导函数值。研究函数的最值遵循“求导数，求驻点，研究单调性，确定极值，计算区间端点函数值，比较大小”。本题中函数f（x）在[0,k]上的最大值M.是关于k的函数，处理问题过程中对k存在的讨论易出错。