Question

如图，M是抛物线y²=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

Answer 1

（1）证明：设M（y₀²,y₀），直线ME的斜率为?k(k＞0),则直线MF的斜率为-k，

直线ME的方程为y-y₀=k(x-y₀²).

由得

ky²-y+y₀(1-ky₀)=0.

解得y₀·y_E=,

∴y_E=,∴x_E=.

同理可得y_F=,∴x_F=.

∴k_EF=（定值）.

（2）解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y₀）²,（1-y₀)）F（（1+y₀）²,-(1+y₀)）.

设重心G（x,y），则有

消去参数y₀,得y²= (x＞0).