Question

如图，F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．
（1）当K取不同数值时，求直线l与抛物线交点的个数；
（2）如直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：K_FA+K_FB是定值
（3）在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l，如l
与抛物线相交于A、B两点，均能使得k_MA•k_MB为定值，有则找出满足条
件的点M；没有，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）设l：y=k(x+

p

2

)代入y²=2px，得：k2x2+p(k2-2)x+

k2p2

4

=0，
然后结合k的取值和根的判别式求直线l与抛物线交点的个数．

（2）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），kFA+kFB=

y1

x1- p 2

+

y2

x2- p 2

=

k(x1+ p 2 )(x2- p 2 )+k(x2+ p 2 )(x1- p 2 )

(x1- p 2 )(x2- p 2 )

，
由此可求出K_FA+K_FB是定值0．

（3）如存在满足条件的点M（t，0），
使得K_MA•K_MB=

k2[x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4 ]

x1x2-t(x1+x2)+t2

=

p2

p2 4 +t(t+p- 2p k2 )

，
仅当t=0，即M（0，0）时，K_MA•K_MB=4．

解答：解：（1）设l：y=k(x+

p

2

)代入y²=2px
得：k2x2+p(k2-2)x+

k2p2

4

=0（*）1⁰k=0，一个交点，2⁰k≠0，△=-4p²（k²-1），
△＞0，即k∈（-1，0）∪（0，1）两个交点
△=0，k=±1时一个交点
△＜0，k＜-1或k＞1无交点
（2）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
kFA+kFB=

y1

x1- p 2

+

y2

x2- p 2

=

k(x1+ p 2 )(x2- p 2 )+k(x2+ p 2 )(x1- p 2 )

(x1- p 2 )(x2- p 2 )

=

2k(x1x2- p2 4 )

(x1- p 2 )(x2- p 2 )

=0，
斜率和为定值0
（3）如存在满足条件的点M（t，0），使得K_MA•K_MB为定值，
KMA•KMB=

y1

x1-t

•

y2

x2-t

=

k2(x1+ p 2 )(x2+ p 2 )

(x1-t)(x2-t)

=

k2[x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4 ]

x1x2-t(x1+x2)+t2

=

p2

p2 4 +t(t+p- 2p k2 )

仅当t=0，即M（0，0）时，K_MA•K_MB=4

点评：本题考查椭圆的性质及其综合运用，解题时要注意公式的灵活运用．