Question

如图，M是抛物线y²=x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|=|MB|．证明：直线EF的斜率为定值．

Answer 1

分析：设直线ME的斜率为 k（k＞0），则直线MF的斜率为-k，直线ME的方程为y-y₀=k（x-y₀²），由

y-y0=k(x-y02) y2=x

得ky²-y+y₀（1-ky₀）=0．于是yE=

1-ky0

k

．同理可得yF=

1+ky0

-k

，由此知直线EF的斜率为定值．

解答：解：设K，直线ME的斜率为 k（k＞0），
则直线MF的斜率为-k，直线ME 的方程为
y-y₀=k（x-y₀²），由

y-y0=k(x-y02) y2=x

得ky²-y+y₀（1-ky₀）=0．
于是y0yE=

y0(1-ky0)

k

，
所以yE=

1-ky0

k

．
同理可得yF=

1+ky0

-k

，
∴kEF=

yE-yF

xE-xF

=

yE-yF

yE2-yF2

=

1

yE+yF

=-

1

2y0

（定值）

点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．