Question

（本小题满分12分）一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点．（1）求点的坐标；（2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程； （3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)   （Ⅲ）

（1）设关于l的对称点为，则且，
解得，，即，故直线的方程为．
由，解得．                ------------------------3分
（2）因为，根据椭圆定义，得
，所以．又，所以．
所以椭圆的方程为．        --------------------7分
（3）假设存在两定点为，使得对于椭圆上任意一点（除长轴两端点）都有（为定值），即·，将代入并整理得…（＊）．由题意，（＊）式对任意恒成立，所以，解之得或．
所以有且只有两定点，使得为定值．   ----------12分