Question

已知椭圆：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，椭圆左右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4．设P为椭圆上不同于A、B的任一点，作PQ⊥x轴，Q为垂足．M为线段PQ中点，直线AM交直线l：x=b于点C，D为线段BC中点（如图）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试判断O、B、D、M四点是否共圆，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

a2-b2 a = 3 2 2a=4

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）O、B、D、M四点共圆，且圆心为OD的中点．由已知条件得到A（-1，0），B（1，0），直线l：x=1．
设点P（x₀，y₀），推导出M(x0，

y0

2

)，C（1，

y0

x0+1

），D（1，

y0

2(x0+1)

），由此利用直角三角形性质能证明O、B、D、M在以N为圆心的圆上．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，
椭圆左右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4，
∴

a2-b2 a = 3 2 2a=4

，解得a=2，b=1，
∴椭圆的方程为

y2

4

+x2=1．…（4分）
（Ⅱ）O、B、D、M四点共圆，且圆心为OD的中点．…（5分）
证明如下：
∵椭圆

y2

4

+x2=1左右顶点分别为A、B，
∴A（-1，0），B（1，0），直线l：x=1．
设点P（x₀，y₀），则点M(x0，

y0

2

)．…（6分）
直线AM：y=

y0

2(x0+1)

(x+1)，令x=1，得C（1，

y0

x0+1

），
∴D（1，

y0

2(x0+1)

）…（8分）
∴

OM

=(x0，

y0

2

)，

DM

=(x0-1，

y0

2

-

y0

2(x0+1)

)=(x0-1，

x0y0

2(x0+1)

)…（10分）
∴

OM

•

DM

=(x0，

y0

2

)•(x0-1，

x0y0

2(x0+1)

)=x0(x0-1)+

x0 y 2 0

4(x0+1)

=

x0(4 x 2 0 -4+ y 2 0 )

4(x0+1)

，（12分）
∵点P（x₀，y₀），∴4

x

2 0

+

y

2 0

=4，
∴

OM

•

DM

=0，∴∠OMD=90°．…（13分）
∴△OMD和△OBD都是直角三角形，
取OD中点N，则由直角三角形性质知|NO|=|NB|=|ND|=|NM|，
∴O、B、D、M在以N为圆心的圆上．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四点共圆的判断与证明，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质，注意等价转化思想的合理运用．