Question

11．已知△ABC是锐角三角形，它的三个内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，满足b²=a²+c²-4bccos²B，且b≠c．
（1）求证：A=2B；
（2）若b=1，试求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理、正弦定理，即可证明A=2B；
（2）由正弦定理，可得a=2cosB，c=$\frac{sin3B}{sinB}$=cos2B+2cos²B，表示出周长，结合B的范围，即可求△ABC周长的取值范围．

解答 （1）证明：∵b²=a²+c²-4bccos²B，
∴2accosB=4bccos²B，
∵△ABC是锐角三角形，
∴a=2bcosB，
∴sinA=2sinBcosB，
∴sinA=sin2B，
∴A=2B；
（2）解：由正弦定理，可得a=2cosB，c=$\frac{sin3B}{sinB}$=cos2B+2cos²B
∴△ABC周长C=a+b+c=1+2cosB+cos2B+2cos²B=4cos²B+2cosB=4（cosB+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{4}$
∵30°＜B＜45°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABC周长的取值范围为（2+$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．