Question

11．已知函数f（x）=|x+1|+|mx-1|．
（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；
（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义求出x的范围即可；
（2）问题转化为|mx-1|≥x-1，结合函数的性质得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，
当且仅当（x+1）（x-1）≤0时取等号．
故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[-1，1]．…（5分）
（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；
x＞0时，由f（x）=x+1+|mx-1|≥2x得|mx-1|≥x-1，
由y=|mx-1|及y=x-1的性质可得|m|≥1且$\frac{1}{m}$≤1，
解得m≥1，或m≤-1．
综上所述，m的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．