Question

(本题满分14分) 已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．
(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；
(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)

证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝．
因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，
所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，
又因为AP平面MDB，OM平面MDB，
所以PA∥平面MDB． …………6分
(Ⅱ) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．
因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，
同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．
所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，
又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．
在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，
故直线CN与平面BMD所成角的正切值为2．       

解析