Question

19．已知函数f（x）=b（x+1）lnx-x+1，斜率为1的直线与f（x）相切于（1，0）点．
（1）求h（x）=f（x）-xlnx的单调区间；
（2）证明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）把f（x）代入h（x），对f（x）进行求导，利用导数研究h（x）的单调区间，注意函数的定义域；
（2）结合（1）通过讨论x的范围，结合函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）由题意知：f′（x）=b（lnx+$\frac{x+1}{x}$）-1，f′（1）=2b-1=1，b=1，
h（x）=f（x）-xlnx=lnx-x+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＞0解得0＜x＜1；
h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0解得x＞1；
∴h（x）=f（x）-xlnx的单调增区间（0，1）；单调减区间（1，+∞）；
（2）证明：由（1）知：
当x＞0时，
h（x）≤h（1）=-1，即lnx-x+1≤0，
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1≤0，
当x≥1时，
f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx-x（ln$\frac{1}{x}$+1-$\frac{1}{x}$）≥0…（12分）
所以（x-1）f（x）≥0．

点评 本题是导数的深度考查的题目，综合性较强．属于比较难把握的题目，高考题中易出现在最后三题．