Question

17．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=1，${A_1}C=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求三棱锥A-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （I）取AB的中点O，连接CO，OA₁，A₁B，由CA=CB得CO⊥AB，由△AA₁B是等边三角形得OA₁⊥AB，故AB⊥平面COA₁，于是AB⊥A₁C；
（II）根据等边三角形性质求出OC，OA₁，由勾股定理逆定理得出CO⊥OA₁，求出S${\;}_{△CO{A}_{1}}$，于是V${\;}_{A-{A}_{1}BC}$=2V${\;}_{A-{A}_{1}OC}$．

解答 （Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA₁，A₁B．
∵CA=CB，∴CO⊥AB，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°．∴△A₁AB为等边三角形．
∴OA₁⊥AB，
又∵OC?平面COA₁，OA₁?平面COA₁，OC∩OA₁=O．
∴AB⊥平面COA₁．又A₁C?平面COA₁，
∴AB⊥A₁C．
（Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB=AA₁=1，∠BAA₁=60°，∴A₁O=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵A₁C=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∴CO²+A₁O²=A₁C²．
∴CO⊥A₁O．
∴S${\;}_{△CO{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}CO•{A}_{1}O$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$．
∴V${\;}_{A-{A}_{1}BC}$=2V${\;}_{A-{A}_{1}OC}$=2×$\frac{1}{3}{S}_{△CO{A}_{1}}•AO$=2×$\frac{1}{3}×\frac{3}{8}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．