Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，acosA=bcosB，求∠A，∠B，∠C的大小．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式，利用余弦定理即可求得$cosB=\frac{1}{2}$，结合0＜B＜π，可求$B=\frac{π}{3}$，又由acosA=bcosB利用正弦定理，倍角公式可得$sin2A=sin2B=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用正弦函数的图象和性质分类讨论即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：由2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，
由正弦定理得：2b²=（2a-c）a+（2c-a）c，…（2分）
即b²=a²+c²-ac，
∵$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，…（4分）
又∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
∵又由acosA=bcosB得：sinAcosA=sinBcosB，即：$sin2A=sin2B=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵0＜2A＜2π，…（8分）
∴$2A=\frac{π}{3}$或$2A=\frac{2}{3}π$…（10分）
∴$当A=\frac{π}{6}时，C=\frac{π}{2}$或$当A=\frac{π}{3}时，C=\frac{π}{3}$，…（11分）
综上：$A=\frac{π}{6}$，$B=\frac{π}{3}，C=\frac{π}{2}$或$A=\frac{π}{3}$，$B=C=\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．