Question

1．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₂=$\frac{1}{2}$，a_n+1=S_nS_n+1，则S_n=$-\frac{1}{n}$或$\frac{1}{3-n}$．

Answer 1

分析 通过a_n+1=S_n+1-S_n=S_nS_n+1，并变形可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是公差为-1的等差数列，把a₂=$\frac{1}{2}$代入条件式得出a₁，求出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的通项公式，从而可得S_n．

解答 解：∵a_n+1=S_nS_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=S_nS_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$．
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是公差为-1的等差数列．
∵a₂=$\frac{1}{2}$，a_n+1=S_nS_n+1．∴$\frac{1}{2}$=a₁（a₁+$\frac{1}{2}$），
解得a₁=-1或a₁=$\frac{1}{2}$．
当a₁=-1时，$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n，∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
当a₁=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1）×（-1）=-n+3，∴S_n=$\frac{1}{3-n}$．
故答案为：$-\frac{1}{n}$或$\frac{1}{3-n}$．

点评 本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．