Question

16．已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{2n+4}{3}$，若从{a_n}中提取一个公比为q的等比数列{a${\;}_{{k}_{n}}$}，其中k₁=1，且k₁＜k₂＜…＜k_n，k_n∈N^*，则满足条件的最小q的值为2．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{2n+4}{3}$，可得a₁=2，a₂=$\frac{8}{3}$，a₃=$\frac{10}{3}$，a₄=4，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀=8，…，对g公比q从小依次取q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，取q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{3}$，取q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=2，即可得出结论．

解答 解：由a_n=$\frac{2n+4}{3}$，可得a₁=2，a₂=$\frac{8}{3}$，a₃=$\frac{10}{3}$，a₄=4，a₅=$\frac{14}{3}$，a₆=$\frac{16}{3}$，a₇=6，a₈=$\frac{20}{3}$，a₉=$\frac{22}{3}$，a₁₀=8，…，
①若取q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，则${a}_{{k}_{3}}$=2×$（\frac{4}{3}）^{2}$=$\frac{32}{9}$≠a₃，不在数列{a_n}中．
同理：若取q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{3}$，则${a}_{{k}_{3}}$=2$（\frac{5}{3}）^{2}$=$\frac{50}{9}$不在数列{a_n}中．
②若取q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=2，则${a}_{{k}_{3}}$=2×2²=8=a₁₀，在数列{a_n}中．
综上可得：满足条件的最小q的值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．