Question

命题p：?x∈R，不等式ax²-2ax+3＞0成立，
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题q：?x＞-1，不等式x²+2x+2＜a（x+1）成立，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,全称命题

专题：简易逻辑

分析：（1）若命题p为真命题，当a=0时，直接验证；当a≠0时，?x∈R，不等式ax²-2ax+3＞0成立，则

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解得即可．
（2）命题q：?x＞-1，不等式x²+2x+2＜a（x+1）成立，利用基本不等式的性质可得a＞(x+1)+

1

x+1

≥2，可得实数a的取值范围．若p∨q为真，p∧q为假，
则p与q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：（1）若命题p为真命题，当a=0时，化为3＞0，成立；当a≠0时，?x∈R，不等式ax²-2ax+3＞0成立，则

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解得0＜a＜3．
综上可得：实数a的取值范围为0≤a＜3．
（2）命题q：?x＞-1，不等式x²+2x+2＜a（x+1）成立，∴a＞(x+1)+

1

x+1

≥2，当且仅当x=0时取等号．
∴a＞2．∴实数a的取值范围是a＞2．
若p∨q为真，p∧q为假，
则p与q必然一真一假．
当p真q假时，

0＜a＜3 a≤2

，解得0＜a≤2；
当q真p假时，

a≤0或a≥3 a＞2

，解得a≥3．
综上可得：实数a的取值范围是（0，2]∪[3，+∞）．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．