题目内容

20．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若△A F1F2是正三角形，则这个椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．

分析 根据题意可得：正三角形的边长为2c，所以b=$\sqrt{3}$c，可得a=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$=2c，进而根据a与c的关系求出离心率．

解答 解：因为以F1F2为边作正三角形，
所以正三角形的边长为2c，
又因为正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，
所以b=$\sqrt{3}$c，
所以a=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$=2c，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

练习册系列答案
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16．命题：“存在一个椭圆，其离心率e＜1”的否定是（　　）
A．任意椭圆的离心率e≥1B．存在一个椭圆，其离心率e≥1
C．任意椭圆的离心率e＞1D．存在一个椭圆，其离心率e＞1
11．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为$\frac{1}{3}$，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积（　　）
A．10πB．12πC．14πD．16π
8．直线x+y-1=0与直线x-2y-4=0的交点坐标为（　　）
A．（2，1）B．（2，-1）C．（-1，2）D．（-1，-2）
15．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了，甲说：“是乙不小心闯的祸”乙说：“是丙闯的祸”，丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是丙．
5．在数列{an}中，其前其前n项和为Sn，且满足${S_n}={n^2}+n（{n∈{N^*}}）$，则an=2n．
12．如图1，在△ABC中，$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=1$，点D是BC的中点．
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（ II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：$\overrightarrow{AE}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$为常数，并求该常数；
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9．如图所示，该几何体是一个由直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2
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（2）若正四棱锥P-ABCD的体积是三棱锥P-ABF体积的4倍，求正四棱锥P-ABCD的高．
10．圆心在直线$y=\frac{1}{3}x$上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为$4\sqrt{2}$，则圆C的标准方程为（　　）
A．（x-3）2+（y-1）2=9B．（x+3）2+（y+1）2=9C．${（{x-4}）^2}+{（{y-\frac{4}{3}}）^2}=16$D．（x-6）2+（y-2）2=9

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