Question

1．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的上、下顶点分别为A₁、A₂，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是[$\frac{3}{8}，\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由题意求A₁、A₂的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA₁斜率的取值范围

解答 解：由椭圆的标准方程可知，
上、下顶点分别为A₁（0，$\sqrt{3}$）、A₂（0，-$\sqrt{3}$），
设点P（a，b）（a≠±2），则$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{b}^{2}}{3}$=1．即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$
直线PA₂斜率k₂=$\frac{b+\sqrt{3}}{a}$，直线PA₁斜率k₁=$\frac{b-\sqrt{3}}{a}$．
k₁k₂=$\frac{b+\sqrt{3}}{a}$•$\frac{b-\sqrt{3}}{a}$=$\frac{{b}^{2}-3}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$；
k₁=-$\frac{3}{4{k}_{2}}$
∵直线PA₂斜率的取值范围是[-2，-1]，即：-2≤k₂≤-1
∴直线PA₁斜率的取值范围是[$\frac{3}{8}，\frac{3}{4}$]．
故答案为：[$\frac{3}{8}，\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题