Question

【题目】已知函数.

（1）证明：当时，；

（2）若函数只有一个零点，求正实数的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）把转化成，令，由题意得，即证明恒成立，通过导数求证即可

（2）直接求导可得，，令，得或，故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可

证明：（1）令，则.

分析知，函数的增区间为，减区间为.

所以当时，.

所以，即，

所以.

所以当时，.

解：（2）因为，所以.

讨论：

①当时，，此时函数在区间上单调递减.

又，

故此时函数仅有一个零点为0；

②当时，令，得，故函数的增区间为，减区间为，.

又极大值，所以极小值.

当时，有.

又，此时，

故当时，函数还有一个零点，不符合题意；

③当时，令得，故函数的增区间为，减区间为，.

又极小值，所以极大值.

若，则，得，

所以

，

所以当且时，，故此时函数还有一个零点，不符合题意.

综上，所求实数的值为.