Question

12．已知函数f（x）=2sin（-πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象与y轴交于点（0，1）．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）设P是函数f（x）图象的最高点，M，N是函数f（x）图象上距离P最近的两个零点，求$\overrightarrow{PM}$与$\overrightarrow{PN}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）把（0，1）代入已知函数解析式可得φ值，可得f（x）=2sin（πx-$\frac{π}{6}$），解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得单调递增区间；
（2）分别令πx-$\frac{π}{6}$=π，$\frac{3}{2}$π和2π，可得P、M、N坐标，由向量的夹角公式可得．

解答 解：（1）把（0，1）代入已知函数解析式可得1=2sinφ，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（-πx+$\frac{π}{6}$）=-2sin（πx-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得2k+$\frac{2}{3}$≤x≤2k+$\frac{5}{3}$（k∈Z），
∴函数的单调递增区间为[2k+$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{5}{3}$]（k∈Z）；
（2）由（1）可得f（x）=-2sin（πx-$\frac{π}{6}$），
令πx-$\frac{π}{6}$=π可解得x=$\frac{7}{6}$，
令πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$π可解得x=$\frac{5}{3}$，
令πx-$\frac{π}{6}$=2π可解得x=$\frac{13}{6}$，
故可取P（$\frac{5}{3}$，2），M（$\frac{7}{6}$，0），N（$\frac{13}{6}$，0），
∴$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{1}{2}$，-2），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}$，-2），
设$\overrightarrow{PM}$与$\overrightarrow{PN}$的夹角为α，
则cosα=$\frac{-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+（-2）×（-2）}{\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-2）^{2}}•\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{15}{17}$．

点评 本题考查正弦函数的图象，涉及单调性和向量的夹角公式，属中档题．