Question

（本小题满分13分）

已知函数

(Ⅰ)求函数在点处的切线方程；

(Ⅱ)求函数单调递增区间；

(Ⅲ)若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，即可求出切线方程；(Ⅱ)由（Ⅰ）,.令，则所以当时, 在上是增函数又,所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为；（Ⅲ）因为存在,使得成立,而当时,, 所以只要即可.根据导数在函数单调性中的应用，可知在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值 ,的最大值为和中的最大值，然后再作差，再根据不等式的性质和分离参数法，即可求出结果.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为函数,

所以,,

又因为,所以函数在点处的切线方程为 3分

(Ⅱ)由⑴,.

令，则

所以当时, 在上是增函数 5分

又,所以不等式的解集为

故函数的单调增区间为 8分

（Ⅲ）因为存在,使得成立,

而当时,,

所以只要即可. 9分

又因为,,的变化情况如下表所示:

	减函数	极小值	增函数

所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值 ,的最大值为和中的最大值

因为,

令,因为,

所以在上是增函数.

而,故当时,,即;

当时,,即.

所以,当时,,即,函数在上是增函数,解得 11分

当时,,即,函数在上是减函数,解得. 12分

综上可知,所求的取值范围为 13分.

考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性中的应用；3.导数在求函数最值中的应用.