Question

11．函数f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（-$\frac{3}{4}$，-2），图象上有三个点A、B、C，它们的横坐标依次为t-1，t，t+1，（t≥1），记三角形ABC的面积为S（t），
（1）求f（x）的表达式；
（2）求S（1）；
（3）是否存在正整数m，使得对于一切不小于1的t，都有S（t）＜m，若存在求的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（-$\frac{3}{4}$，-2），求出a，即可求出f（x）的表达式；
（2）S（1）=$\frac{1}{2}$（x_B-x_A）•y_B+$\frac{1}{2}$（{x_C-x_B）•（y_B+y_C）-$\frac{1}{2}$（x_C-x_A）•y_C，即可求S（1）；
（3）要使对一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）_max，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（-$\frac{3}{4}$，-2），
∴-2=log_a（-$\frac{3}{4}$+1），∴a=2…（3分）
∴f（x）=log₂x；
（2）当t=1时，A（0，0），B（1，1），C（2，log₂3），…（4分）
∴S（1）=$\frac{1}{2}$（x_B-x_A）•y_B+$\frac{1}{2}$（{x_C-x_B）•（y_B+y_C）-$\frac{1}{2}$（x_C-x_A）•y_C=1-$\frac{1}{2}$log₂3…（6分）
（3）由图知：S（t）=$\frac{1}{2}$[log₂t+log₂（t+1）]+$\frac{1}{2}$[log₂（t+1）+log₂（t+2）]-$\frac{1}{2}$[log₂t+log₂（t+2）}]×2
=$\frac{1}{2}$log₂[{1+$\frac{1}{t（t+2）}$]…（8分）
∵对一切不小于1的t，t（t+2）≥3，0＜$\frac{1}{t（t+2）}$≤$\frac{1}{3}$，
∴1＜1+$\frac{1}{t（t+2）}$≤$\frac{4}{3}$，
∴0＜log₂[{1+$\frac{1}{t（t+2）}$]≤log₂$\frac{4}{3}$，
∴0＜$\frac{1}{2}$log₂[{1+$\frac{1}{t（t+2）}$]≤$\frac{1}{2}$log₂$\frac{4}{3}$，…（10分）
要使对一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）_max，
∴m＞$\frac{1}{2}$log₂$\frac{4}{3}$（11分）
又∵m∈N*，∴m=1…（12分）

点评 本题考查对数函数，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．