Question

设f（x）=e^x+ae^-x（a∈R，x∈R）．
（1）讨论函数g（x）=xf（x）的奇偶性；
（2）若g（x）是偶函数，解不等式f（x²-2）≤f（x）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义判定函数f（x）的奇偶性，即可得出g（x）的奇偶性；
（2）g（x）是偶函数，又（1）可得f（x）=e^x-e^-x，利用导数研究函数的单调性即可解出不等式．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=e^x为非奇非偶函数．
令f（-x）+f（x）=e^-x+ae^x+e^x+ae^-x=（a+1）（e^x+e^-x）=0，解得a=-1，即a=-1时，函数f（x）是奇函数；
令f（-x）f（x）=e^-x+ae^x-e^x-ae^-x=（a-1）（e^x-e^-x）=0，解得a=1，即a=1时，函数f（x）是偶函数．
∴当a=-1时，g（x）=xf（x）是偶函数；当a=1时，g（x）=xf（x）是奇函数．
（2）∵g（x）是偶函数，
∴f（x）=e^x-e^-x，
∵f′（x）=e^x+e^-x＞0，
∴函数f（x）在R上单调递增，
∴不等式f（x²-2）≤f（x）化为x²-2＜x，即x²-x-2＜0，解得-1＜x＜2．
∴不等式的解集是（-1，2）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性并且解不等式，考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题．