Question

【题目】双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、.

（1）求双曲线的方程；

（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率为、，证明：为定值；

（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

（3）存在，.

【解析】

（1）根据双曲线所过的点和渐近线的夹角可得关于的方程组，解该方程组后可得双曲线的标准方程.

（2）设，，，用三点的坐标表示，再利用点满足的方程化简前者可得所求的定值.

（3）设直线为，，，根据可得恒等式，联立直线方程和双曲线方程后利用韦达定理化简前者可得，从而得到所求的定点.

（1）双曲线的渐近线方程为，

因为两条渐近线的夹角为，故渐近线的倾斜角为或，

所以或.

又，故 或（无解），故，

所以双曲线.

（2）设，，，

故，，所以，

因为，所以即，

所以为定值.

（3）双曲线的右焦点为，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，，

因为，所以，

整理得到①，

由可以得到，

因为直线与双曲线有两个不同的交点，

故且，

所以.

由题设有①对任意的总成立，

因，

所以①可转化为，

整理得到对任意的总成立，

故，故即所求的定点的坐标为.

当直线的斜率不存在时，则，此时或，

此时.

综上，定点的坐标为.