Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，．在梯形中，，且，，平面．

（Ⅰ）求证：．

（II）求四棱锥与三棱锥体积的比值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在△ABC中，由已知结合余弦定理求解AC，再由勾股定理得到BC⊥AC．由EC⊥平面ABCD，得EC⊥BC，再由线面垂直的判定可得BC⊥平面ACEF，进一步得到BC⊥AF；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAB＝30°，结合四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC＝60°，得到∠CAD＝∠ACD＝30°，求得点D到平面ACEF距离为，分别求出四棱锥D﹣ACFE与三棱锥A﹣BCF的体积，则答案可求．

（I）证明：在中，

所以，由勾股定理知：，故

又因为平面，平面，所以，而，所以平面，又平面，所以

（II）由（I）知：在中，，又∵四边形为等腰梯形，且，则

作因为平面，平面，

则平面平面，

又平面平面，平面，故平面

又，则，

又，

∴，

综上所述：四棱锥与三棱锥体积比值是