Question

【题目】已知等差数列的前n项和为，并且，数列满足：，，记数列的前n项和为．

（1）求数列的通项公式及前n项和为；

（2）求数列的通项公式及前n项和为；

（3）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）.

【解析】

（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；

（2）先得到，再利用累乘法，得到数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求出前n项和公式Tn；

（3）根据函数的的单调性，得到不等式，n∈N+继而求实数λ的取值范围

（1）设数列{an}的公差为d，

由题意得，解得，

∴an＝n，

∴．

（2）由题意得，

累乘得．

由题意得①

②

①﹣②得：

∴

（3）由上面可得，令，

则f（1）＝1，，，，．

下面研究数列的单调性，

∵，

∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．

又n=1时，，n=2时，，即，

所以n=3或n=2时，最大为，

∴的最大值为.