Question

19．定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（x-4），且x∈[-$\frac{5}{2}$，0]时，f（x）=-x²，则f（2016）+f（$\frac{9}{2}$）的值等于（　　）

• A． -$\frac{5}{4}$
• B． -$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据题意，得出f（x）是周期为5的函数，再根据f（x）=-x²，即可求出f（2016）+f（$\frac{9}{2}$）的值．

解答 解：∵偶函数y=f（x）（x∈R），满足f（x+1）=f（x-4），
∴f（x+4+1）=f（x+4-4），
∴f（x+5）=f（x）
∴f（x）的周期是5，
∵x∈[-$\frac{5}{2}$，0]时，f（x）=-x²，
设x∈[0，$\frac{5}{2}$]时，则-x∈[-$\frac{5}{2}$，0]，
∴f（-x）=-（-x）²=-x²=f（x），
∴f（x）=-x²，
∴f（2016）+f（$\frac{9}{2}$）=f（403×5+1）+f（10-$\frac{1}{2}$）=f（1）+f（-$\frac{1}{2}$）=-1-$\frac{1}{4}$=-$\frac{5}{4}$
故选：A．

点评 本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用问题，也考查了求函数值的应用问题，是中档题．