Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+1，n∈N^*，a₁=1，b_n=a_n+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）证明{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2n，求数列{c_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+1=3a_n+1，两边同时加上$\frac{1}{2}$，a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），即可b_n+1=3b_n，数列{b_n}是等比数列，求得b₁，根据等比数列通项公式求得b_n；
（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1+$\frac{1}{2}$=3a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
∴b_n+1=3b_n，
b₁=a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
{b_n}是以$\frac{3}{2}$为首项，以3为公比的等比数列，
{b_n}的通项公式b_n=$\frac{3}{2}$×3^n-1=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
（Ⅱ）c_n•b_n=2n×$\frac{{3}^{n}}{2}$=n•3ⁿ，
数列{c_n•b_n}的前n项和S_n，S_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=1×3²+2×3³++3×3⁴…+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2S_n=1×3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹，
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
=$\frac{（1-2n）×{3}^{n+1}-3}{2}$，
∴S_n=$\frac{（2n-1）×{3}^{n+1}+3}{4}$．

点评 本题主要考查等比数列通项公式的求解，以及利用错位相减法求前n项和，考查学生的运算能力，属于中档题．