Question

3．已知不等式x²-ax+a-2＞0的解集为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），其中x₁＜0＜x₂，则${x_1}+{x_2}+\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 0
• C． 2
• D． $-\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根据不等式x²-ax+a-2＞0的解集，得出x₁x₂=a-2＜0，求出x₁+x₂+$\frac{2}{{x}_{1}}$+$\frac{2}{{x}_{2}}$=（a-2）+$\frac{4}{a-2}$+4；利用基本不等式求出它的最大值即可．

解答 解：不等式x²-ax+a-2＞0的解集为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），其中x₁＜0＜x₂，
∴x₁x₂=a-2＜0，
∴x₁+x₂+$\frac{2}{{x}_{1}}$+$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₁+x₂）+$\frac{2{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=a+$\frac{2a}{a-2}$
=a+$\frac{2a-4+4}{a-2}$
=a+2+$\frac{4}{a-2}$
=（a-2）+$\frac{4}{a-2}$+4；
又a-2＜0，∴-（a-2）＞0，
∴-（a+2）-$\frac{4}{a-2}$≥2$\sqrt{-（a-2）×（-\frac{4}{a-2}）}$=4，
当且仅当-（a-2）=-$\frac{4}{a-2}$，即a=0时，取“=”；
∴（a-2）+$\frac{4}{a-2}$+4≤-4+4=0，
即${x_1}+{x_2}+\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$的最大值为0．
故选：B．

点评 本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．