Question

18．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（1）解不等式：f（x）≥2；
（2）若?x₀∈R，使得f（x₀）≥m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可解不等式：f（x）≥2；
（2）若?x₀∈R，使得f（x₀）≥m，等价于f（x）_max≥m，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意，|x-2|-|x+1|≥2．
x＜-1，不等式可化为2-x+x+1≥2，成立，∴x＜-1；
-1≤x≤2，不等式可化为2-x-x-1≥2，解得x≤-$\frac{1}{2}$，∴-1≤x≤-$\frac{1}{2}$；
x＞2，不等式可化为x-2-x-1≥2，无解；
综上所述，不等式的解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$]；
（2）?x₀∈R，使得f（x₀）≥m，等价于f（x）_max≥m，
∵f（x）=|x-2|-|x+1|≤|x-2-x-1|=3，
∴m≤3．

点评 本题考查绝对值不等式，考查绝对值三角不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．