Question

13．已知{a_n}是递增的等差数列，a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2^a_n+a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程组求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=2^a_n+a_n=2²ⁿ+2n=4ⁿ+2n，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵{a_n}是递增的等差数列，a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2+d）^{2}=2（2+3d）}\\{d＞0}\end{array}\right.$，解得d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n．
（2）∵a_n=2n，∴b_n=2^a_n+a_n=2²ⁿ+2n=4ⁿ+2n，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=（4+4²+4³+…+4ⁿ）+2（1+2+3+…+n）
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）+{n}^{2}+n$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和分组求和法的合理运用．