题目内容
2．设函数f（x）=x3-6x2+16x-5-sinπx，{an}是公差不为零的等差数列，若$\sum_{i=1}^{10}$f（ai）=110，则$\sum_{i=1}^{10}$ai=（ ）| A． | 5 | B． | 10 | C． | 15 | D． | 20 |
分析 由函数f（x）=（x-2）3+4x+3-sinπ（x-2）=（x-2）3+4（x-2）-sinπ（x-2）+11，可得f（x）-11的图象关于（2，0）对称，结合$\sum_{i=1}^{10}$f（ai）=110，可得答案．
解答 解：∵函数f（x）=（x-2）3+4x+3-sinπ（x-2）=（x-2）3+4（x-2）-sinπ（x-2）+11，
∴f（x+2）-11=x3+4x-sinπx为奇函数，图象关于原点对称，
故f（x）的图象关于（2，11）对称，
∴f（x）-11的图象关于（2，0）对称，
∵$\sum_{i=1}^{10}$f（ai）=110，
∴$\sum_{i=1}^{10}$f（ai）-11=0，
故$\sum_{i=1}^{10}$ai=20，
故选：D
点评 本题考查的知识点是数列求和，函数的对称性，根据已知分析出f（x）-11的图象关于（2，0）对称，是解答的关键．
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