Question

3．在△ABC中，三边长a，b，c，满足a+c=3b，则$tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理及三角形内角和定理化简可得sinA+sinC=3sin（A+C），根据和差化积公式及倍角公式可得cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$=3[cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$]，两边同时除以cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$，利用同角三角函数基本关系式即可求解．

解答 解：由正弦定理知：a=sinA•2R，b=sinB•2R，c=sinC•2R，而a+c=3b，
即sinA•2R+sinC•2R=3sinB•2R，
∴sinA+sinC=3sinB=3sin（A+C），
∴根据和差化积公式及倍角公式可得：2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=6sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A+C}{2}$，
∴cos$\frac{A-C}{2}$=3cos$\frac{A+C}{2}$，
∴cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$=3[cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$]，
两边同时除以cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$，得：1+tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=3[1-tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$]
∴$tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理及三角形内角和定理，和差化积公式及倍角公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．