Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，0），离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（1，0）且斜率为

3

2

的直线被C所截线段的中点坐标．
（3）设A₁和A₂是长轴的两个端点，直线l垂直于A₁A₂的延长线于点D，|OD|=4，P是l上异于点D的任意一点．直线A₁P交椭圆C于M（不同于A₁，A₂），设λ=

A2M

•

A2P

，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）将点（2，0）代入椭圆C的方程可得

4

a2

=1，解得a，又e=

c

a

=

1

2

，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）过点（1，0）且斜率为

3

2

的直线方程为y=

3

2

（x-1），将直线方程代入椭圆方程得

x2

4

+

(x-1)2

4

=1，化简可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出．
（3）由（1）知，A₁（-2，0），A₂（2，0）．设M（x₀，y₀）．由于M在椭圆C上，可得

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)．由P，M，A₁三点共线可得P(4，

6y0

x0+2

)．可得λ=

A2M

•

A2P

=2（x₀-2）+

6 y 2 0

x0+2

=

5

2

（2-x₀），由于-2＜x₀＜2，即可得出．

解答： 解：（1）将点（2，0）代入椭圆C的方程可得

4

a2

=1，
解得a=2，
又e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）过点（1，0）且斜率为

3

2

的直线方程为y=

3

2

（x-1），
设直线与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入椭圆方程得

x2

4

+

(x-1)2

4

=1，
化为2x²-2x-3=0，
由韦达定理得x₁+x₂=1，
∴线段AB中点的横坐标为

x1+x2

2

=

1

2

，纵坐标为

3

2

(

1

2

-1)=-

3

4

，
即所截线段的中点坐标为（

1

2

， -

3

4

）．
（3）由（1）知，A₁（-2，0），A₂（2，0）．
设M（x₀，y₀）．
∵M在椭圆C上，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)．）
由P，M，A₁三点共线可得P(4，

6y0

x0+2

)．
∴

A2M

=（x₀-2，y₀），

A2P

=(2，

6y0

x0+2

)．
∴

A2M

•

A2P

=2（x₀-2）+

6 y 2 0

x0+2

=

5

2

（2-x₀），
∵-2＜x₀＜2，∴λ=

A2M

•

A2P

∈（0，10）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、向量的数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．