Question

函数f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m，则以下四个结论：
①若y=f（x）有三个不同的零点，则-

4

3

＜m＜0；
②?m∈R，使得y=f（x）的图象与x轴没有交点；
③?m∈R，使得y=f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称；
④?m∈R，在y=f（x）的图象上都存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是一个菱形．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：求出原函数的导函数，得到极值点，由极大值大于0极小值小于0求解m的范围判断①；
由x→-∞时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞判断②；
求出原函数的二阶导数判断③；
求出函数f（x）=

1

3

x³-2x²+3x的对称中心，得到两极值点的中垂线，说明直线与f（x）=

1

3

x³-2x²+3x有交点判断④．

解答： 解：f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m，则
f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
当x∈（-∞，1），（3，+∞）时，f′（x）＞0．
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的极大值为f（1）=m+

4

3

，极小值为f（3）=m．
若y=f（x）有三个不同的零点，则

m+ 4 3 ＞0 m＜0

，解得-

4

3

＜m＜0．命题①正确；…①
当x→-∞时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴不存在m∈R，使得y=f（x）的图象与x轴没有交点．命题②错误；…②
由f′′（x）=2x-4=0，得x=2，
∴不?m∈R，使得y=f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称．命题③错误；…③
函数f（x）=

1

3

x³-2x²+3x的对称中心为（2，

2

3

），取A（1，

4

3

），B（3，0），
过（2，

2

3

）作斜率为

3

2

的直线，方程为y-

2

3

=

3

2

(x-2)，即y=

3

2

x-

7

3

．
联立

y= 3 2 x- 7 3 y= 1 3 x3-2x2+3x

，得2x³-12x²+9x+2=0，
令g（x）=2x³-12x²+9x+2，
求导可得函数g（x）有三个零点．
即y=

3

2

x-

7

3

与f（x）=

1

3

x³-2x²+3x有三个交点．
也就是f（x）=

1

3

x³-2x²+3x上存在另两点C，D，使四边形ABCD是一个菱形．
而f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m只是把f（x）=

1

3

x³-2x²+3x上下平移．
∴命题④正确…④
故答案为：①④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数求函数的单调性，训练了函数零点的判定方法，是压轴题．