Question

（本小题满分14分）已知函数f（x）=x-1-lnx

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值；

（3）对恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）x-2y-2ln2=0,；（2）函数y=f（x）的极小值为f（1）=0, 无极大值；（3）

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域为， ，

∴曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程为，

即x-2y-2ln2=0,

（2）令，得x=1，

列表：

x	（0,1）	1
	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0, 无极大值。

（3）依题意对恒成立

等价于在上恒成立

可得在上恒成立，

令,

令，得

列表：

x
	-	0	+
g（x）	↘		↗

∴函数y=g（x）的最小值为,

根据题意，．

考点：本题考查利用导数研究函数的极值，最值；函数恒成立的问题；利用导数研究曲线的切线方程

点评：解决本题的关键是掌握导数的几何意义；以及求极值的思路；解决恒成立的问题，分离参数转化为函数的最值问题