Question

15．已知函数f（x）=x|x-2|，
（1）作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在闭区间[0，a]上最大值；
（3）若函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请直接写出m、n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化绝对值函数为分段函数，画图即可，并由图得到单调区间，
（2）需要分类讨论，根据a的范围求出最值，
（3）由图象直接得到m，n的范围．

解答 解：（1）f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，
由图象可知，函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1）∪（2，+∞）；
（2）f（x）在闭区间[0，a]上最大值，
当a≤1，f（x）_max=f（a）=-a²+2a，
令x²-2x=1，解得x=1+$\sqrt{2}$，
当1＜a≤1+$\sqrt{2}$时，f（x）_max=f（1）=1，
当a＞1+$\sqrt{2}$时，f（x）_max=f（a）=a²-2a；
（3）由图象可知，函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，
则0＜m＜1，2＜n＜1+$\sqrt{2}$，

点评 本题考查了函数图象的识别和画法，以及分类讨论的思想，属于基础题．