Question

4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且在[-3，-2]上是减函数，a，b是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（sina）＞f（cosb）
• B． f（sina）＜f（cosb）
• C． f（cosa）＜f（cosb）
• D． f（cosa）＞f（cosb）

Answer 1

分析 由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜a+b＜90°即0°＜a＜90°-b，从而有0＜sina＜sin（90°-b）=
cosb＜1，由f（x）满足f（2-x）=f（x）函数为偶函数即f（-x）=f（x）可得f（2-x）=f（x），即函数的周期为2，因为函数在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断．

解答 解：∵a，b是钝角三角形的两个锐角可得0°＜a+b＜90°即0°＜a＜90°-b，
∴0＜sina＜sin（90°-b）=cosb＜1，
∵f（x）满足f（2-x）=f（x），∴函数关于x=1对称，
∵函数为偶函数即f（-x）=f（x）∴f（2-x）=f（x），即函数的周期为2，
∴函数在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，
∴f（sina）＜f（cosb），
故选：B．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f（2-x）=f（x），偶函数满足的f（-x）=f（x）可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要a，b是钝角三角形的两个锐角可得0°＜a+b＜90°即0°＜a＜90°-b．本题是综合性较好的试题．