Question

已知球O的直径为4，P，A，B，C为球面上四个点，P-ABC为正三棱锥，PA，PB，PC与平面ABC所成角均为60°则棱锥P-ABC体积为（　　）

• A、

  3 3

  4

• B、

  9 3

  4

• C、

  3 3

  2

• D、

  27 3

  4

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：过点P作PH⊥平面ABC于H，AH是PA在平面ABC内的射影，从而∠PAH=60°，设正三棱锥P-ABC外接球的球心为O，OA=OB=OC=2，设PA=PB=PC=a，则AH=

1

2

a，PH=

3

2

a，由勾股定理得a=2

3

，设等边△ABC的边长为x，则

2

3

×

x2- 1 4 x2

=AH=

1

2

a=

3

，解得x=3，由此能求出棱锥P-ABC体积．

解答： 解：过点P作PH⊥平面ABC于H，
∵AH是PA在平面ABC内的射影
∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，
∵P-ABC为正三棱锥，PA，PB，PC与平面ABC所成角均为60°，
∴∠PAH=60°，
设正三棱锥P-ABC外接球的球心为O，
∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心
由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC
∵球O的直径为4，∴OA=OB=OC=2，
设PA=PB=PC=a，∵∠PAH=60°，∴AH=

1

2

a，PH=

3

2

a，
在Rt△AHO中，AO²=OH²+AH²，
∴4=(

3

2

a-2)2+

1

4

a2，解得a=2

3

，∴PH=

3

2

×2

3

=3，
设等边△ABC的边长为x，则

2

3

×

x2- 1 4 x2

=AH=

1

2

a=

3

，解得x=3，
∴棱锥P-ABC体积V=

1

3

×S△ABC×PH=

1

3

×

1

2

×3×3×sin60°×3=

9 3

4

．
故选：B．

点评：本题考查正三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用，注意球和正三棱锥的位置关系的合理运用．