题目内容
已知△ABC，P0是边AB上一定点，满足
=
，且对于AB上任一点P，恒有
•
≥
•
．若A=
，|
|=2，则△ABC的面积为 ．
| P0B |
| 1 |
| 4 |
| AB |
| PB |
| PC |
| P0B |
| P0C |
| π |
| 3 |
| AC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,解三角形,平面向量及应用
分析：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4t，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出
，
，
，
，然后由
•
≥
•
，结合向量的数量积的坐标表示，可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断三角形的形状，再由三角形的面积公式计算即可得到．
| P0B |
| PB |
| PC |
| P0C |
| PB |
| PC |
| P0B |
| P0C |
解答：
解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴
建立直角坐标系，
设AB=4t，C（a，b），P（x，0）（-2t＜x＜2t），
则BP0=t，A（-2t，0），B（2t，0），P0（t，0）
∴
=（t，0），
=（2t-x，0），
=（a-x，b），
=（a-t，b）
∵恒有
•
≥
•
，
∴（2t-x）（a-x）≥t（a-t）恒成立
整理可得x2-（a+2t）x+at+t2≥0恒成立
令f（x）=x2-（a+2t）x+at+t2，
当
＜-2t，必有f（-2t）≥0，无解；
当
＞2，必有f（2t）≥0，无解；
当-2t≤
≤2t，必有△=（a+2t）2-4（at+t2）≤0
即△=a2≤0，
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上，
∴AC=BC，
故△ABC为等腰三角形，
若A=
，|
|=2，则三角形ABC为等边三角形，
则面积为S=
×4=
．
故答案为：
．
解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，
设AB=4t，C（a，b），P（x，0）（-2t＜x＜2t），
则BP0=t，A（-2t，0），B（2t，0），P0（t，0）
∴
| P0B |
| PB |
| PC |
| P0C |
∵恒有
| PB |
| PC |
| P0B |
| P0C |
∴（2t-x）（a-x）≥t（a-t）恒成立
整理可得x2-（a+2t）x+at+t2≥0恒成立
令f（x）=x2-（a+2t）x+at+t2，
当
| a+2t |
| 2 |
当
| a+2t |
| 2 |
当-2t≤
| a+2t |
| 2 |
即△=a2≤0，
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上，
∴AC=BC，
故△ABC为等腰三角形，
若A=
| π |
| 3 |
| AC |
则面积为S=
| ||
| 4 |
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力，以及三角形的面积公式的运用．
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如图，一个半径为R的圆上一点A（| 3 |
| AP |
| AB |
| A、4 | B、6 | C、10 | D、12 |
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| A、（-∞，-2）∪（0，2） |
| B、（-2，0）∪（0，2） |
| C、（-∞，-2）∪（2，+∞） |
| D、（-2，0）∪（2，+∞） |