Question

1．已知a₁=$\frac{1}{4}$，a_n=$\frac{1}{2}{a_{n-1}}+{2^{-n}}$（n≥2）
（1）计算这个数列前4项，并归纳该数列一个通项公式．
（2）用数学归纳法证明上述归纳的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把n=1，2，3代入递推公式即可求出；
（2）先验证n=1，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1是否成立即可．

解答 解：（1）${a_1}=\frac{1}{4}，{a_2}=\frac{3}{8}，{a_3}=\frac{5}{16}，{a_4}=\frac{7}{32}$，
猜想：${a_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$．
（2）当n=1时，显然成立；
假设n=k命题成立，即${a_k}=\frac{2k-1}{{{2^{k+1}}}}$，则${a_{k+1}}=\frac{1}{2}×\frac{2k-1}{{{2^{k+1}}}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}=\frac{2（k+1）-1}{{{2^{（k+1）+1}}}}$．
∴当n=k+1时，命题也成立，
故，对任意的n∈N₊，${a_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$恒成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．