Question

10．已知定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$，且f（1）=-1．
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）f（x）中的x换上1便可求出f（1），从而可求出a=-2；
（2）根据减函数的定义，在区间（-1，1）上设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₂-x₁，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得到f（x）在（-1，1）上单调递减；
（3）根据f（x）解析式，显然可得到f（-x）=-f（x），从而由原不等式可得到f（t-1）＜f（-t），这样根据f（x）的定义域和单调性便可得到关于t的不等式组，解不等式组即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）f（1）=$\frac{a}{2}=-1$；
∴a=-2；
（2）证明：$f（x）=-\frac{2x}{{1+{x^2}}}$，设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}-\frac{2{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{2}}^{2}）（1+{{x}_{1}}^{2}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₂-x₁＞0，-1＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0；
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{2}}^{2}）（1+{{x}_{1}}^{2}）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在区间（-1，1）上单调递减；
（3）显然f（-x）=-f（x）；
∴由f（t-1）+f（t）＜0得：f（t-1）＜f（-t）；
由（2）知f（x）在定义域[-1，1]上单调递减；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤t-1≤1}\\{-1≤-t≤1}\\{t-1＞-t}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{2}＜t≤1$；
∴原不等式的解集为$（\frac{1}{2}，1]$．

点评 考查已知函数求值，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂，或x₂-x₁，奇函数的定义，根据单调性的定义解不等式的方法．