Question

5．在数列{a_n}中，已知a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1（n∈N^*），则a₁²+a₂²+…+a₁₀²=（　　）

• A． （3¹⁰-1）²
• B． $\frac{{{9^{10}}-1}}{2}$
• C． 9¹⁰-1
• D． $\frac{{{3^{10}}-1}}{4}$

Answer 1

分析 设数列{a_n}的前n项和为S_n，则a₁+a₂+…+a_n=S_n=3ⁿ-1（n∈N^*），利用递推关系可得：a_n=2×3^n-1．于是${a}_{n}^{2}$=4×9^n-1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：设数列{a_n}的前n项和为S_n，则a₁+a₂+…+a_n=S_n=3ⁿ-1（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=3-1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
当n=1时上式成立，
∴a_n=2×3^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4×3^2n-2=4×9^n-1．
∴数列{${a}_{n}^{2}$}是等比数列，首项为4，公比为9．
则a₁²+a₂²+…+a₁₀²=$\frac{4（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{{9}^{10}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．