Question

18．公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₄是a₂与a₉的等比中项，S₃=12，则S₁₀等于（　　）

• A． 96
• B． 108
• C． 145
• D． 160

Answer 1

分析 设出等差数列的等差d，且d不为0，根据a₄是a₃与a₇的等比中项，S₈=32，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S₁₀即可

解答 解：设公差为d（d≠0），则有$\left\{\begin{array}{l}{{（a}_{1}+d）{（a}_{1}+8d）{={（a}_{1}+3d）}^{2}}\\{{3a}_{1}+\frac{3•2}{2}•d=12}\end{array}\right.$，
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{d（{3a}_{1}-d）=0①}\\{{a}_{1}+d=4②}\end{array}\right.$，
因为d≠0，由①得到3a₁-d=0③，②+③得：4a₁=4，解得a₁=1，
把a₁=1代入③求得d=3，
所以方程组的解集为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
则S₁₀=10×1+$\frac{10×9}{2}$×3=145．
故选：C．

点评 此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．本题解法属基本量法．在解由等差（比）数列中的部分项生成等比（差）数列中部分项问题时，要特别注意新数列中项在新、老数列中的各自属性及其表示．