Question

14．在△ABC中，A（2，1），B（3，2），C（-3，-1），AD为BC边上的高，求点D的坐标与|$\overrightarrow{AD}$|．

Answer 1

分析 利用向量坐标运算、向量共线定理、向量垂直与数量积的共线即可得出．

解答 解：设D（x，y），$\overrightarrow{AD}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{BC}$=（-6，-3），$\overrightarrow{BD}$=（x-3，y-2），
∵$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=-6（x-2）-3（y-1）=0，化为2x+y-5=0．
∵B，D，C三点共线，
∴$\overrightarrow{BD}∥\overrightarrow{BC}$，
∴-3（x-3）+6（y-2）=0，化为x-2y+1=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-5=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{9}{5}$，y=$\frac{7}{5}$．
∴D$（\frac{9}{5}，\frac{7}{5}）$，$\overrightarrow{AD}$=$（-\frac{1}{5}，\frac{2}{5}）$．
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{（-\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了向量坐标运算、向量共线定理、向量垂直与数量积的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．