Question

8．阅读下列命题：
①若点P（a，2a） （a≠0）为角α终边上一点，则sin α=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②同时满足sin α=$\frac{1}{2}$，cos α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角有且只有一个；
③设tan α=$\frac{1}{2}$且π＜α＜$\frac{3π}{2}$，则sin α=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
④函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函数
其中正确命题的序号是③④．

Answer 1

分析 ①根据a的正负，利用任意角的三角函数定义计算得到结果，即可找出判断；
②利用特殊角的三角函数值及诱导公式判断即可得到结果；
③由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，进而求出sinα的值，即可做出判断；
④利用三角函数的诱导公式变形即可判断函数的奇偶性．

解答 解：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，
则当a＞0时，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；当a＜0时，sinα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故①错误；
②同时满足sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角有无数个，此时α=2kπ+$\frac{π}{6}$，故②错误；
③设tanα=$\frac{1}{2}$且π＜α＜$\frac{3π}{2}$，可得cosα=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故③正确；
④函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{2}{3}x$是偶函数，故④正确．
∴正确命题的序号是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查同角三角函数的基本关系，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．