题目内容

5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：
（1）B1C∥平面FAC1；
（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．

分析 （1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1
（2）只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．

解答 解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，
∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，
∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C?B1CE，
∴B1C∥平面FAC1

（2）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F?面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，
∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，
C1F?面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．

点评 本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．

练习册系列答案
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15．在△ABC中，“A＜30°”是“$sinA＜\frac{1}{2}$”的（　　）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，an），设Sn为所有这样的排列构成的集合．集合An={（a1，a2，…，an）∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj-j}；集合Bn={（a1，a2，…，an}∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜n，都有ai+i≤aj+j}．
（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3
（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素个数；
（Ⅲ）记集合Bn的元素个数为bn．证明：数列{bn}是等比数列．
13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（$\sqrt{2}$，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
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A．-3B．$\frac{1}{8}$C．3D．8
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14．已知点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且过点F的直线y=2x-4与此双曲线只有一个交点，则双曲线的方程为$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1．
14．若直线 过点（1，1）且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线 有（　　）
A．1条B．2条C．3条D．4条

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