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用数学归纳法证明13+23+33+…+n3=n2（n+1）2.

思路分析：本题是运用数学归纳法证明恒等式问题，在第二步n=k+1时，要通过提取公因式进行因式分解.

证明：（Ⅰ）当n=1时，左边=13=1，右边=·12·(1+1)2=1，故等式成立.

(Ⅱ)假设n=k（k∈N且k≥1）时等式成立.

即13+23+33+…+k3=k2(k+1)2成立.

则当n=k+1时，13+23+33+…+k3+(k+1)3

=k2(k+1)2+(k+1)3

=(k+1)2+［k2+4(k+1)］

=(k+1)2(k+1)2

=(k+1)2［(k+1)+1］2.

即当n=k+1时等式也成立.

综合(Ⅰ)(Ⅱ)，对一切n∈N，等式都成立.

练习册系列答案
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用数学归纳法证明“1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
≤n”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k-1-1
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k-1-1
．
用数学归纳法证明“1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（　　）
用数学归纳法证明：1+
n
2
≤1+
1
2
+
1
3
…+
1
2n
≤
1
2
+n（n∈N*）
用数学归纳法证明13+23+33+…+n3=n2（++）.

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