Question

用数学归纳法证明：1+

n

2

≤1+

1

2

+

1

3

…+

1

2n

≤

1

2

+n（n∈N^*）

Answer 1

分析：利用数学归纳法分两步证明即可，①当n=1时，易证不等式成立；②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+

k

2

≤1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

≤

1

2

+k，通过放缩法，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答：证明：①当n=1时，1+

1

2

≤1+

1

2

≤

1

2

+1，不等式成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+

k

2

≤1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

≤

1

2

+k，
则n=k+1时，
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

≥1+

k

2

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

＞1+

k

2

+

1 2k+2k + 1 2k+2k +…+ 1 2k+2k

2k

=1+

k

2

+2^k•

1

2k+1

=1+

k+1

2

；
又1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

＜

1

2

+k+

1 2k + 1 2k +…+ 1 2k

2k

=

1

2

+k+2^k•

1

2k

=

1

2

+（k+1），
即n=k+1时，1+

k+1

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

＜

1

2

+（k+1），也成立；
综合①②知，对任意的n∈N^*，1+

n

2

≤1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

≤

1

2

+n（n∈N^*）．

点评：本题考查数学归纳法，着重考查放缩法的应用，考查转化思想与推理论证的能力，属于难题．