Question

12．如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为直径的圆与BC相切于D点，与AB，AC交于点E，F．
（I）求证：BE•AD=ED•DC；
（Ⅱ）当点E为AB的中点时，若圆的半径为r，求EC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接EC，ED，根据相似三角形的性质即可求出，
（Ⅱ）当点E为AB的中点时，DB=DA=2r，根据勾股定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）连接EC，ED，
因为AD为直径，所以∠AED=90°，
又圆与BC相切于点D，
所以∠ADC=90°，∠BDE=∠CAD，
因此Rt△BED∽RtCDA，
所以$\frac{BE}{DC}$=$\frac{ED}{AD}$，
即BE•AD=ED•DC，
（Ⅱ）当点E为AB的中点时，DB=DA=2r，
此时AC=AB=2AE=2$\sqrt{2}$r，
且由（Ⅰ）的证明，易知∠BAC=90°，
因此在Rt△EAC中，有EC=$\sqrt{（\sqrt{2}r）^{2}+（2\sqrt{2}r）^{2}}$=$\sqrt{10}$r，

点评 本题考查了相似三角形的性质和勾股定理，属于中档题．