Question

2．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，由两边平方化简即可得到所求曲线C的直角坐标方程；
（2）设A（ρ₁，θ），讨论①A在y轴上，即A（ρ₁，$\frac{π}{2}$），则B（ρ₂，π），②A不在y轴上，且B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），③A不在y轴上，且B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），代入极坐标方程，结合诱导公式和两角和差正弦公式和主函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$，即为ρ=1+ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，可得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+x，
化简可得y²=1+2x；
（2）设A（ρ₁，θ），
①A在y轴上，即A（ρ₁，$\frac{π}{2}$），则B（ρ₂，π），
则$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=1-cos$\frac{π}{2}$+1-cosπ=1+2=3；
②A不在y轴上，且B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），则$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=1-cosθ+1-cos（θ+$\frac{π}{2}$）
=2+sinθ-cosθ=2+$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）≤2+$\sqrt{2}$，
当且仅当θ=$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z时取得等号；
③A不在y轴上，且B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），则$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$=1-cosθ+1-cos（θ-$\frac{π}{2}$）
=2-sinθ+cosθ=2-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤2+$\sqrt{2}$，
当且仅当θ=-$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z时取得等号．
综上可得，$\frac{1}{{|{OA}|}}+\frac{1}{{|{OB}|}}$的最大值为2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的转化，考查极坐标方程的运用：求最值，同时考查三角函数的恒等变换和正弦函数的值域的运用，属于中档题．